Intriduccion a los Procesos Estocasticos

Procesos

Procesos aleatorios o estocasticos:

 Los procesos estocásticos o funciones aleatorias son, dicho de una manera sencilla, variables aleatorias que dependen de un parámetro que se interpreta normalmente como una representación del tiempo o el espacio. Este parámetro se denomina argumento de la función o del proceso, y puede haber varios. En caso de argumento temporal, t, este representará instantes de tiempo; en caso de argumento espacial, s, sus valores harán referencia a localizaciones espaciales. En lo que sigue se utilizará el espacio como argumento, debido a la creciente importancia de los procesos estocásticos espaciales en la actualidad.

Así, si X(s) es un proceso estocástico y "s" (la localización espacial) es el argumento del mismo, para cada valor de "s" se tiene una variable aleatoria o sección del proceso; dichas variables o secciones no tienen por qué ser independientes. Una muestra tal que de cada una de las variables aleatorias se toma un valor es una realización del proceso estocástico.

A modo de ejemplo, si X es la variable aleatoria "precio del metro cuadrado de la vivienda" y "s" representa la ubicación espacial, se tiene que:

• — X(s₀) es la variable aleatoria "precio del metro cuadrado de la vivienda en la localización s₀".
• — X(s₁) es la variable aleatoria "precio del metro cuadrado de la vivienda en la localización s₁".
• — y así sucesivamente.

Entonces X(s) es un proceso estocástico o función aleatoria de las localizaciones s_i, y x(s₁), x(s₂), ..., x(s_n) son realizaciones de dicho proceso.

Tipos de procesos estocasticos:

•  Proceso estacionario en sentido estricto o estrictamente estacionario

Se dice que el proceso o función aleatoria X = {X(s) : s ∈ D} es estrictamente estacionario si las familias (o el conjunto) de variables aleatorias {X(s₁), X(s₂), ..., X(s_n)} y {X(s₁ + h), X(s₂ + h), ..., X(s_n + h)}, siendo h una determinada distancia, tienen la misma función de distribución conjunta ∀ s₁, s₂, ..., s_n y h > 0.

Dicho de otra manera, la función de distribución conjunta de {X(s₁), X(s₂), ..., X(s_n)} no se ve afectada por la traslación de una cantidad arbitraria h, por lo que las funciones de densidad unidimensionales tampoco dependen de la localización.

Esta condición asegura que, en esencia, el proceso está en equilibrio probabilístico y que, por tanto, el lugar concreto en el que se examine el proceso no es relevante. Si el proceso X(s) es estrictamente estacionario, entonces su distribución de probabilidad es la misma en cada localización. Por tanto, un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto si todas las variables aleatorias que lo componen tienen la misma función de distribución de probabilidad.

Proceso estacionario de segundo orden o débilmente estacionario

El proceso estocástico X = {X(s) : s ∈ S} se dice que es estacionario de segundo orden (débilmente estacionario o estacionario en sentido amplio) si posee momentos de segundo orden finitos (es decir, la covarianza existe) y cumple que:

• - El valor esperado existe y es constante y, por tanto, no depende de la localización s_i: E[X(s_i)] = μ, ∀i ∈ N
• - Para toda pareja de variables aleatorias, X(s_i) y X(s_j), la covarianza existe y solo depende de la distancia entre las localizaciones s_i y s_j, pero no de ellas en concreto:∀i, j ∈ N y h > 0

Es importante enfatizar que la función de covarianza C(s,s + h) de un proceso estocástico de segundo orden es solo función de h, por lo que la varianza del proceso existe, es finita y constante V[X(s)] = C(h=0) = σ².

Nótese que si un proceso es estacionario en sentido estricto, entonces lo es también en sentido amplio. El recíproco, sin embargo, no es cierto en general.

Proceso estocástico intrínsecamente estacionario

Hay procesos estocásticos cuya varianza no existe, si bien sus incrementos tienen varianza finita.

Pues bien, el proceso estocástico X = {(s) : s ∈ S}, no estacionario, se dice que es intrínsecamente estacionario si:

- Para todo vector h, los incrementos de primer orden X(s + h) - X(s) tienen esperanza y varianza definidas e independientes de s. Es decir,
E [X(s + h) - X(s) = μ(h)
V [X(s + h) - X(s) = σ²(h)
donde μ(h), la deriva, es necesariamente lineal en h. Es decir, ni la esperanza ni la varianza de los incrementos dependen de la localización s sino solo de la del vector h que une los puntos.

En el caso de que μ(h) fuera distinta de cero, es decir, en caso de que la media del proceso no fuese constante, bastaría hacer el cambio X^t(s + h) - X^t(s) - μ(h) = X(s + h) - X(s) con media nula y la misma varianza, dando lugar a un nuevo proceso que cumplirá:
E[X(s + h) - X(s)] =0
V [X(s + h) - X(s)] = E[(X(s + h) - X(s)]²]
que sólo es función de h. Esta última es la forma habitual de representar la estacionariedad intrínseca.

Procesos estocásticos no estacionarios

Se dice que la función aleatoria X = {X(s) : s ∈ S} es no estacionaria si
E[X(s)] = μ(s)

Es decir, si su esperanza no es constante, y, por tanto, la función aleatoria presenta deriva. La media de las variables aleatorias que conforman el proceso varía según la localización . Si además los incrementos de primer orden, X(s + h) - X(s), del proceso estocástico no son estacionarios tampoco son estacionarios se dice que dicha función ni siquiera es intrínsecamente estacionaria.

Procesos de variables estocásticamente independientes

Son aquellos que verifican que las variables aleatorias involucradas en el proceso son estocásticamente independientes. En otros términos, verifican que la función de distribución conjunta de las mismas coincide con el producto de sus funciones de distribución marginales.

Procesos de variables incorrelacionadas u ortogonales

Son aquellos que verifican que la covarianza entre cualquier par de variables aleatorias involucradas en el proceso es nula.
Evidentemente, un proceso de variables estocásticamente independientes también será ortogonal.

Cadenas de Markov

La cadena de Markov, también conocida como modelo de Markov o proceso de Markov, es un concepto desarrollado dentro de la teoría de la probabilidad y la estadística que establece una fuerte dependencia entre un evento y otro suceso anterior. Su principal utilidad es el análisis del comportamiento de procesos estocásticos.

La explicación de estas cadenas la desarrolló el matemático de origen ruso Andréi Márkov en 1907. Así, a lo largo del siglo XX, se ha podido emplear dicha metodología en numerosos casos prácticos de la vida cotidiana. También se conoce como cadena simple biestable de Markov.

Según señaló Markov, en sistemas o procesos estocásticos (es decir, aleatorios) que presentan un estado presente es posible conocer sus antecedentes o desarrollo histórico. Por lo tanto, es factible establecer una descripción de la probabilidad futura de los mismos.
Más formalmente, la definición supone que en procesos estocásticos la probabilidad de que algo suceda solamente depende del pasado histórico de la realidad que estamos estudiando. Por este motivo, a menudo se dice que estas cadenas cuentan con memoria.
La base de las cadenas es la conocida como propiedad de Markov, la cual resume lo dicho anteriormente en la siguiente regla: lo que la cadena experimente en un momento t + 1 solamente depende de lo acontecido en el momento t (el inmediatamente anterior).
Dada esta sencilla explicación de la teoría, puede observarse que es posible a través de la misma conocer la probabilidad de que un estado ocurra en el largo plazo. Esto ayuda indudablemente a la predicción y estimación en largos periodos de tiempo.

¿Dónde se utiliza la cadena de Markov?
Las cadenas de Markov han experimentado una importante aplicación real en el ámbito de los negocios y las finanzas. Esto, al permitir, como se ha señalado, analizar y estimar futuros patrones de conducta de los individuos atendiendo a la experiencia y los resultados anteriores.

Lo anterior puede reflejarse en diferentes campos como la morosidad, el estudio de las conductas de consumidores, la demanda estacional de mano de obra, entre otros.
El sistema elaborado por Markov es bastante sencillo y cuenta, como hemos dicho, con una aplicación práctica bastante fácil. Sin embargo, muchas voces críticas señalan que un modelo tan simplificado no puede ser totalmente efectivo en procesos complejos.

Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

En matemáticas , específicamente en la teoría de la Markovianos procesos estocásticos en teoría de la probabilidad , la ecuación de Chapman-Kolmogorov es una identidad que relaciona las distribuciones de probabilidad conjunta de diferentes conjuntos de coordenadas en un proceso estocástico. La ecuación se deriva independientemente tanto por el matemático británico Sydney Chapman y el matemático ruso Andrey Kolmogorov. Enunciada de una forma sencilla dice: "la probabilidad de que dos hechos debidos al azar (y que cumplen unas condiciones determinadas), pasen conjuntamente... es "pequeñísima".
El concepto era conocido de antemano, y se empleaba en la investigación forense. Por ejemplo, se sabe que, en un incendio forestal, si hay un solo foco puede ser accidental, pero si hay dos la probabilidad de que sea provocado es altísima.

Dentro del entorno de entrada de datos de las máquinas de Bull​ (con tarjetas perforadas tipo Hollerith), se hacía una 2ª entrada de datos leyendo al mismo tiempo las tarjetas perforadas en la 1ª entrada, la máquina pitaba si había alguna diferencia, en caso contrario se daba como correcta, ya que la probabilidad de error pasaba a ser "ínfima".

En ambos ejemplos se está aplicando la ley de Chapman-Kolmogórov, aunque no se explicite.

La Ruina del Jugador

Supongamos que un juego que puede tomar valores igual a 1 y −1. Supongamos que el jugador A tiene un capital de "k" unidades y el B tiene "a − k" donde "a > k".

Supongamos que Xn representa el capital de A después de n juegos (o en el punton), entonces X0=k y si Xn=0 el jugador se arruina (se tiene que tenern ≥ k), mientras que si Xn=a(siempre quen ≥ a − k) entonces B se arruina, y en ambos casos el juego termina. 

El interés principal es calcular P(Xn=0) para cualquier n.