Unidad 3

1. Procesos de Poisson

Procesos de Poisson Homogéneos.

Como es bien conocido, un proceso de Poisson homogéneo, con tasa o frecuencia de “llegadas” λ>0, constante, se puede simular a partir de la generación de una serie de “tiempos” Ti= Ti-1+(logRi)/λ a partir de incrementos de tiempo iid con distribución  exponencial  de  parámetro  λ,  con  densidad  f(t)=λexp(−λt)  para  t>0.  Esto  es  equivalente  a  que  el  proceso  complementario  de  “contajes”  de  llegadas  en  un  tiempo  t,  que  indicaremos  indistintamente  Nt  ó  N(t),  tenga  distribución de Poisson de parámetro λt.

Superposición y descomposición de los procesos de Poisson Homogéneos.

• Superposición de Procesos de Poisson La situación inversa a la descomposición de un proceso de Poisson es la superposición de procesos. Ya que un proceso de Poisson puede descomponerse en procesos de Poisson independientes, es razonable esperar que el proceso inverso, la superposición de procesos de Poisson independientes, produzca un proceso de Poisson cuya intensidad sea la suma de las intensidades.

• Descomposición. Sea {N(t)} un proceso de Poisson con tasa λ, y supongamos que cada evento que ocurre puede ser de tipo 1 con probabilidad p o bien de tipo 2 con probabilidad 1-p. por ejemplo, sea {N(t)} el proceso de Poisson que indica el número de clientes que llegan a un comercio desde que abre hasta el tiempo t. Los clientes pueden ser hombres o mujeres con probabilidad p o 1-p respectivamente. Entonces {N(t)} se puede descomponer en dos procesos Poisson que indican el número de hombres y el número de mujeres que llegan de 0 a t.

Procesos de Poisson compuesto.

Asociamos ahora una variable aleatoria Yi a cada evento de un proceso de Poisson. Suponemos que las variables Yi, i≥1, son i.i.d y también son independientes del proceso. Por ejemplo, el proceso puede representar los carros que llegan a un centro comercial y las variables asociadas, el número de pasajeros que hay en cada uno de ellos; o el proceso puede representar los mensajes que llegan a un computador central para ser transmitidos vía internet y las variables Yi pueden representar el tamaño de los mensajes

Procesos de Poisson no Homogéneo.

La  importancia  de  los  procesos  no  homogéneos,  también  denominados no estacionarios,  reside  en  que  no  se  requiere  que  se  verifique  la  condición  de incrementos  estacionarios,  por  lo  que  contemplamos  la  posibilidad  de  que algunos sucesos sean más frecuentes en ciertos periodos de funcionamiento.

El  proceso  de  conteo  {N(t), t ≥  0}  es  un proceso  de Poisson  no  homogéneo con función de intensidad λ(t), t≥ 0, si

1.       N(0)=0,

2.       {N(t), t ≥ 0} es de incrementos independientes, 

3.       P(N(t+h)-N(t) = 1) = λ(t)h+o(h),

4.       P(N(t+h)-N(t) ≥ 2) = o(h).

Procesos Si denotamos, Limite 0 - t λ(s)ds resulta que

Es decir, N(t+s)-N(t) sigue una distribución de Poisson de media m(t+s)-m(t) y a m(t) se le designa como función de valor medio del proceso.

Proceso de Poisson filtrado.

También conocido como ruido de disparo o ruido de Poisson es un tipo de ruido electrónico que puede ser modelada por un proceso de Poisson. En electrónica ruido de disparo se origina en la naturaleza discreta de la carga eléctrica. El ruido de disparo también se produce en el recuento de fotones en dispositivos ópticos, donde el ruido disparo está asociado con la naturaleza de la partícula de la luz. Este tipo de ruido resulta importante en electrónica, en telecomunicaciones y en la física fundamental. El nivel de este ruido es tanto mayor cuanto mayor sea el valor promedio de la intensidad de corriente eléctrica o de la intensidad luminosa, según se trate de un dispositivo electrónico u óptico. Sin embargo, en tanto que el nivel de señal crece más rápidamente cuanto mayor es su nivel promedio, a menudo el ruido de disparo sólo supone un problema cuando se trabaja con intensidades de corriente o intensidades luminosas bajas.

Proceso de nacimiento puro.

Consideremos una sucesión de números positivos {1k}. Se define un proceso de nacimiento puro como un proceso de Markov que satisface los siguientes postulados:

X( t ) denota el valor de estado que puede tomar el proceso en el tiempo t. En lo que respecta a la teoría de confiabilidad el valor de estado denotará el estado de degradación en que incurre el sistema, entendiendo el 0 como el estado óptimo, y los sucesivos estados como etapas de degradación creciente, hasta llegar a un estado N que significará el estado de colapso, no obstante con el objeto de aplicar directamente la teoría de los procesos de nacimiento puro, consideraremos el espacio de estado infinito {0, 1, 2, ...}.

Procesos de nacimiento y muerte.

En el Contexto de Teoría de Colas, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas.

El Estado del sistema en el tiempo t, que se denota N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t.

Supuesto 1: Dado N(t) = n, las distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λn.

λn = la tasa media de llegadas cuando hay n clientes en el sistema.

Supuesto 2: Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta la próxima muerte (salida) es exponencial con parámetro Un.

Un = la tasa media de salidas cuando hay n clientes en el sistema.

Supuesto 3: La variable aleatoria de la suposición 1 (tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (tiempo que falta hasta la próxima muerte) son mutuamente independientes.

Modelo de Nacimiento Puro: En el Modelo de Nacimiento Puro, los clientes llegan y nunca parten. Los procesos de llegada ocurren de manera aleatoria.

Modelo de Muerte Pura: En Modelo de Muerte Pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo.

2. Cadenas de Markov Discretas

Propiedades

Previo a la definición de una cadena de Markov es necesario conocer que es un proceso markoviano. Diremos que los procesos estocásticos markovianos se caracterizan por la distribución deXn+1que solo depende de la distribución de Xny no de las anteriores (Xn−1, Xn−2, . . .), es decir, el estado futuro del proceso, solo depende del estado presente, y no del resto de estados pasados.

Formalmente se expresa como:

 Cuando el espacio de estados es discreto, entonces se puede escribir como:

A esta última igualdad se la conoce como propiedad markoviana. La propiedad markoviana es equivalente a establecer una probabilidad condicional de cualquier “evento” futuro, dado cualquier “evento” pasado, es decir, el estado actual Xtn, es independiente del evento pasado y solo depende del estado actual del proceso.

Clasificación de estados

Cadenas irreducibles

Una cadena de Márkov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí):

Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro.

Todos los estados se comunican entre sí.

C(x)=E para algún x∈E.

C(x)=E para todo x∈E.

El único conjunto cerrado es el total.

La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria sin barreras absorbentes son ejemplos de cadenas de Márkov irreducibles.

Cadenas positivo-recurrentes

Una cadena de Márkov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes. Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que existe un único vector de probabilidad invariante y está dado por:

Cadenas regulares

Una cadena de Márkov se dice regular (también primitiva o ergódica) si existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero.

Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la cadena se tiene que:

Donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad invariante de la cadena. En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante es único.

Cadenas absorbentes

Una cadena de Márkov con espacio de estados finito se dice absorbente si se cumplen las dos condiciones siguientes:

    La cadena tiene al menos un estado absorbente.

    De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente.

Si denotamos como A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su complemento como D, tenemos los siguientes resultados:

    Su matriz de transición siempre se puede llevar a una de la forma

Donde la sub-matriz Q corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0 es la matriz nula y R alguna sub-matriz.

Cadenas de Márkov en tiempo continuo

Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2, …, Xi, … con i indexado en el conjunto N de números naturales, se consideran las variables aleatorias Xt con t que varía en un intervalo continuo del conjunto R de números reales, tendremos una cadena en tiempo continuo. Para este tipo de cadenas en tiempo continuo la propiedad de Márkov se expresa de la siguiente manera:

Para una cadena de Márkov continua con un número finito de estados puede definirse una matriz estocástica dada por:

La cadena se denomina homogénea sí P(t1,t2) = P(t2 - t1) . Para una cadena de Márkov en tiempo continuo homogénea y con un número finito de estados puede definirse el llamado generador infinitesimal como:

Y puede demostrarse que la matriz estocástica viene dada por:

Comportamiento asintótico

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. La ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (Y=m.x + b en coordenadas cartesianas) en muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir, que su ecuación en coordenadas cartesianas sean X=0, Y=0. Estas se distinguen en 3 tipos, vertical, horizontal y oblicuo.

Distribución limite

Una Distribución Límite (estacionaria) de una Cadena de Markov en tiempo discreto consiste en una distribución de estado estable para los estados de una cadena que es independiente de la distribución inicial.

En distintas aplicaciones de esta categoría de procesos estocásticos resulta de interés identificar la probabilidad de que la variable aleatoria “Xn” adopte un valor “j” (entre M estados posibles) al cabo de un número de etapas o transiciones “n” que tiende a infinito. Lo anterior equivale a:

En este contexto existen ecuaciones que permiten encontrar estas probabilidades de largo plazo en la medida que el proceso markoviano en tiempo discreto sea una cadena irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos.

3. Aplicaciones

Teoría de colas

La teoría de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera dentro de un sistema. Esta teoría estudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a colapsar. Dentro de las matemáticas, la teoría de colas se engloba en la investigación de operaciones y es un complemento muy importante a la teoría de sistemas y la teoría de control. Se trata así de una teoría que encuentra aplicación en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y logística o telecomunicaciones.

En el caso concreto de la ingeniería, la teoría de colas permite modelar sistemas en los que varios agentes que demandan cierto servicio o prestación, confluyen en un mismo servidor y, por lo tanto, pueden registrarse esperas desde que un agente llega al sistema y el servidor atiende sus demandas. En este sentido, la teoría es muy útil para modelar procesos tales como la llegada de datos a una cola en ciencias de la computación, la congestión de red de computadoras o de telecomunicación, o la implementación de una cadena productiva en la ingeniería industrial.

En el contexto de la informática y de las tecnologías de la información y la comunicación las situaciones de espera dentro de una red son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para su ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos; la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red; también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro teléfono móvil ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc.

Procesos discretos de ramificación de parámetros de tiempo continuo

Un proceso de ramificación son el desarrollo en matemáticas que trata de explicar la forma en la que crecen o decrecen los sistemas cuyos componentes se reproducen siguiendo leyes estocásticas. Este proceso surge de debido a la idea de querer buscar una explicación a la desaparición de algunos nombres de familias aristocráticas en Europa por los años de 1947, pero el interés en este tema ya estaba desde mucho tiempo antes.

Generalmente se pensaba que esta teoría de ramificación había sido iniciada por F. Galton en 1873 cuando este público en Educational Times, su famoso problema:

“Sea N el número de hombres adultos de una gran población que coloniza una zona. Cada uno de ellos tiene un apellido diferente. Su ley de distribución de la población es tal que, en cada generación, el a0 por ciento de los hombres adultos no tiene descendencia masculina que llegue a la vida adulta; el a1 por ciento tiene un hijo varón que llega a adulto; el a2 por ciento tiene dos, y así sucesivamente hasta a5.

Encontrar (1) la proporción de apellidos que se habrán extinguido transcurridas r generaciones; y (2) el número de apellidos que en ese momento llevarán exactamente m individuos”.

En este problema, Galton convenció a H.W. Watson para buscar una solución, este último propuso una solución utilizando funciones generatrices e iteraciones de funciones, sin embargo, ambos llegaron a la conclusión errónea de que toda familia estaba destinada a extinguirse. Este hecho fue corregido 50 años después cuando J.F Steffensen corrigió el error alegando que esto solo era posible si dichas familias tenían un número de descendientes menor o igual a 1.